Parez et lavez les poissons. Séchez-les. Frottez-les avec un mélange fait d'une cuillère à café de sel et le jus d'un citron. Versez l'eau dans une grande casserole. Portez à frémissement pendant 30 minutes en ajoutant les légumes, l'huile, le laurier, les grains de poivre. Salez. Laissez refroidir. Reportez à des petits frémissements. Ajoutez les poissons. Laissez cuire 15 minutes. Récupérez les morceaux. Gardez-les au chaud. Passez le court-bouillon au chinois. Reversez le jus dans la casserole en réservant 3 cuillères à soupe. Ajoutez le riz. Portez à ébullition. Diminuez le feu à doux. Couvrez. Laissez mijotez pendant 15 minutes. Pendant ce temps préparez la sauce aux oeufs. Battez les oeufs entiers et le jus de citron. Placez sur feu très doux. Incorporez le court-bouillon. Préparez l'avgholemono. Versez 4 cuillères à soupe d'huile d'olive dans une tasse. Ajoutez 3 cuillères à soupe de jus de citron. Salez. Poivrez. Mélangez. Terminez en ajoutant le persil haché. Au moment de servir, versez la sauce aux oeufs dans le court-bouillon au riz tiède. Mélangez. Servez immédiatement dans des assiettes creuses bien chaudes en saupoudrant de persil haché. Servez les poissons séparément dans des petites assiettes en les nappant d'avgholemono. Accompagnez avec de fines tranches de pains.